Kuus võrdust, millest sünnib aritmeetika

Slaidil on liitmine, korrutamine ja astendamine antud kõigest kuue võrdusega. Igal tehtel on algus, mis ütleb, mis juhtub nulliga, ja samm, mis ütleb, kuidas minna Y-lt arvule Y + 1. Siin vaatame, miks sellest piisab ja mis on selle taga hulgateoorias.

algus (Y = 0)samm (Y → Y + 1)

Klõpsa võrdusel, et näha seda arvutajas allpool tööle hakkamas.

1. Arvud on hulgad

Mis on „0“ ja „Y + 1“ hulgateoorias?

Hulgateoorias pole arve antud, need tuleb hulkadest ehitada. Levinuim viis on John von Neumanni oma:

0 = ∅ (tühi hulk)
Y + 1 = Y ∪ {Y} (järglane: võta Y ja lisa Y ise elemendiks)

Slaidi „+ 1“ ei ole seega tavaline liitmine, vaid järglase operatsioon, mida tähistatakse sageli S(Y). Selle järgi on iga arv n hulk, milles on täpselt n elementi: kõik temast väiksemad arvud.

Arv 3

Hea omadus: m < n tähendab lihtsalt m ∈ n, ja arvu n elementide arv on n. Seepärast saab tehteid hiljem selgitada elementide loendamise kaudu.

2. Aksioomid

Millised aksioomid seda lubavad?

Zermelo–Fraenkeli (ZF) aksioomid ütlevad, milliseid hulki tohib moodustada. Naturaalarvude jaoks on vaja järgmisi. Vali aksioom, et näha, mida see annab.

Peano aksioomid tulevad välja teoreemidena

Aritmeetika tavapärased aksioomid (Peano omad) ei pea hulgateoorias olema eraldi aksioomid. Need on tõestatavad ZF aksioomidest:

Peano aksioom	Miks see hulgateoorias kehtib
0 ∈ ℕ	∅ on olemas (tühja hulga aksioom) ja kuulub igasse induktiivsesse hulka.
Y ∈ ℕ ⇒ Y + 1 ∈ ℕ	ℕ on induktiivne hulk; Y ∪ {Y} on olemas paari- ja ühendiaksioomi järgi.
Y + 1 ≠ 0	Y ∈ Y ∪ {Y}, seega järglane pole tühi; ekstensionaalsuse järgi ei saa see võrduda hulgaga ∅.
X + 1 = Y + 1 ⇒ X = Y	Kui X ∪ {X} = Y ∪ {Y}, siis ekstensionaalsuse ja regulaarsuse abil saab näidata, et X = Y.
Induktsioon	ℕ on väikseim induktiivne hulk, nii et iga induktiivne alamhulk on ℕ ise. See on aluseks kõigele, mis järgneb.

3. Rekursiooniteoreem

Miks kahest reast piisab tehte defineerimiseks?

Kõik kolm slaidi rida järgivad sama mustrit. Kui X on fikseeritud, defineeritakse funktsioon f nii:

f(0) = a, f(Y + 1) = g(f(Y))

Rekursiooniteoreem ütleb, et selline f on olemas ja on ainus. Tõestus toetub induktsioonile: algus annab väärtuse nullis, samm annab väärtuse igas järgmises punktis, ja kuna ℕ on väikseim induktiivne hulk, saab väärtuse iga naturaalarv.

tehe X =

Funktsioon on hulk paare

Hulgateoorias pole funktsioon „masin“, vaid järjestatud paaride hulk. Ülal kujutatud funktsioon on:

See on ℕ × ℕ alamhulk ehk seos, milles igal Y-l on täpselt üks paariline. Sama mõte, millega ringi materjalis valiti ruudustiku paaride hulgast välja need, mis reeglit rahuldasid.

Iga tehe kasutab eelmist: korrutamise samm kasutab liitmist ja astendamise samm korrutamist. Nii ehitatakse aritmeetika üles kihtide kaupa, alustades ühestainsast järglase operatsioonist.

4. Arvutaja

Vaata, kuidas reeglid tulemuseni jõuavad

Arvutaja kasutab ainult slaidi võrdusi ja järglast S(n) = n + 1. Iga rida näitab, milline võrdus rakendati ja milline osa muutus.

tehe X = Y =

kõik vahesammud (ka alamtehted)

5. Tehted kui hulgaoperatsioonid

Mida tehted hulkadega teevad?

Kuna arv X on hulk, milles on X elementi, saab iga tehte tõlkida hulgaoperatsiooniks. Tulemuseks olev arv on uue hulga elementide arv.

X = 2 Y = 2

6. Kokkuvõte

Kõik ühes tabelis

Tehe	Algus	Samm	Hulgateoorias
liitmine	X + 0 = X	X + (Y+1) = (X + Y) + 1	lõikumatute hulkade ühend; samm lisab ühe uue elemendi
korrutamine	X · 0 = 0	X · (Y+1) = X · Y + X	X × Y; samm lisab X uut paari
astendamine	X⁰ = 1	X^Y+1 = X^Y · X	funktsioonid Y → X; samm laiendab igat funktsiooni X viisil

Tervikpilt: ZF aksioomid annavad hulga ℕ ja järglase. Rekursiooniteoreem lubab defineerida tehteid kahe reaga. Induktsioon tagab, et need read katavad kõik arvud ja võimaldab tõestada tehete omadusi, näiteks et X + Y = Y + X.